dimanche 11 juin 2017

Additionner le résultat de plusieurs dés : des probabilités à la main.

Souvenons-nous de cet article parlant de figures géométriques où je vous ai montré mon incapacité à prouver de la géométrie et où j'ai vérifié à la main une relation qui dit que la somme des angles d'une figure géométrique régulière valait (nombre de côté - 2)π / (nombre de côtés).

Récemment, j'ai encore trouvé un moyen de me compliquer la vie en recherchant à la main quelles sont les probabilités, en lançant plusieurs dés à six faces, de faire chaque somme des points de tous les dés.

Voulez-vous faire avec moi ce beau voyage au royaume des mathématiques découvertes par quelqu'un qui ne sait pas compter ?1


Un dé, deux dés

Quand je lance un dé à six faces, j'ai une chance sur six de faire chacun des résultats (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Je vais ignorer le fait que je vous affirme cette idée absolument sans preuve et vous demander de garder ça en tête.

Quand je lance deux dés à six faces, il existe trente-six combinaisons des deux dés (6 x 6 ou 62), mais certaines de ces combinaisons me donnent le même nombre total de points.

J'ai bricolé un tableau sur Excel parce que j'aime secrètement les tableurs.

Les 36 combinaisons possibles pour le lancer de deux dés à six faces
Avec des couleurs sympas, c'est plus facile de compter avec ses petits doigts le nombre de fois où un nombre total de points revient parmi ces 36 combinaisons de dé :

Le nombre de fois où 
chaque total de points revient
Diagramme indiquant le nombre total de points 
sur les deux dés en abscisse et le nombre de fois 
où il revient dans le tableau en ordonnée
← Et là vous vous dites : cool, ces mathématiques vont être faciles pour une fois.

Pour le coup c'est pas très très difficile de visualiser le profil de tous les totaux de points alignés, mais on va le faire quand même →

C'est linéaire et c'est très cool, mais on aurait tort de penser qu'avec trois dés il se passe la même chose.


Trois dés

Quand je lance trois dés, mon tableur Excel boude : il n'est pas en trois dimensions, et il voudrait que j'utilise ses lignes et ses colonnes intelligemment pour y pallier.

Mon premier réflexe a été de me dire : "Eh, j'ai qu'à mettre le résultat de deux dés en colonne et le résultat du troisième dé en ligne !" Et voici :

Les combinaisons possibles pour le lancer de trois dés à six fa... attendez un peu ?
Vous avez vu ce que j'ai oublié ? Oui, je suis sûre que vous l'avez vu. Vous êtes plus malins que moi.

En fait, ça, c'est le tableau pour ce que j'obtiens quand je lance un dé-11 qui commencerait par 2 et un dé-6 : une chance sur onze d'un côté, une chance sur six de l'autre. Mais je n'ai pas une chance sur onze de faire 2, 3, 4, etc. : j'ai une chance sur trente-six de faire un total de 2, deux chances sur trente-six de faire un total de 3, trois chances sur trente-six de faire un total de 4, etc. Donc mon tableau, là, soit il est complètement nul, soit il lui manque un truc.

J'ai rebricolé un tableau à 3 entrées comme ceci :

Les combinaisons possibles pour le lancer de trois dés à six faces

Cette fois-ci tout va bien, je ne peux pas me tromper, j'ai bien tout envisagé.

Le tableau est beaucoup moins lisible, mais techniquement je peux toujours m'amuser à compter combien de fois chaque combinaison revient pour établir les probabilités qu'elle tombe !

Le 3 n'est présent qu'une fois, le 4 trois fois, le 5 six fois, le 6 dix fois...

En fait, le 3 tombe (1) fois.
Le 4 tombe (2+1) fois.
Le 5 tombe (3+2+1) fois.
Le 6 tombe (4+3+2+1) fois.
Le 7 tombe (5+4+3+2+1) fois.
Le 8 tombe (6+5+4+3+2+1) fois.
Le 9 tombe (5+6+5+4+3+2) fois.
Le 10 tombe (4+5+6+5+4+3) fois.
Le 11 tombe (3+4+5+6+5+4) fois.
Nombre de fois où chaque combinaison est revenue
Le 12 tombe (2+3+4+5+6+5) fois.
Le 13 tombe (1+2+3+4+5+6) fois.
Le 14 tombe (1+2+3+4+5) fois.
Le 15 tombe (1+2+3+4) fois.
Le 16 tombe (1+2+3) fois.
Le 17 tombe (1+2) fois.
Le 18 tombe (1) fois.

Vous pouvez checker le tableau, tout ceci fonctionne très bien.

Du coup, la probabilité d'avoir chaque total des points est égale au nombre de fois où le total de points revient sur le nombre total de cases dans mon tableau (6 x 6 x 6 = 63 = 216).

Regardons quelle tête a tout ce monde-là quand on transforme les nombres en colonnes et qu'on les aligne dans un diagramme.

Notez qu'entrer des titres crédibles dans mes diagrammes Excel m'ennuie.
Le profil n'est plus exactement celui d'une pyramide comme tout à l'heure : on est plus sur une courbe en forme de cloche - qu'on appelle gaussienne.

La prochaine fois qu'un matheux vous lancera "Je me gausse, pauvre cloche !", vous saurez de quoi il parle.

Bon, qu'avons-nous vu ? Que c'était pas si évident de retrouver les probabilités de faire tel ou tel résultat avec trois dés ? Fichtre, normalement mes articles sont plus riches en contenu que ça d'habitude. Hum.

On peut noter que mon premier tableau n'est pas complètement à jeter, mais pour qu'il soit correct il a besoin d'un ajout.

Soit je reprends ma colonne "résultats des lancers des deux premiers dés" mais je la rectifie pour qu'elle reflète bien les chances d'obtenir un résultat ou un autre, et j'obtiens ça :

Les combinaisons possibles pour le lancer de trois dés à six faces
J'y vois un peu plus clair que tout à l'heure.

Soit j'ai la flemme et j'y vais à la waneuguène, et je fais ça :

Les combinaisons possibles pour le lancer de trois dés à six faces
C'est le même mais en plus compact et en moins visuel.

Les trois tableaux nous donnent le même résultat, notez bien. Le premier permet d'être certain de ne pas se tromper, le deuxième est peut-être plus simple à compter, et le troisième modèle plus compact peut me permettre de limiter le nombre de kilomètres de cet article.


Toujours plus loin, toujours plus fort : prenons quatre dés

Vous connaissez la chanson maintenant.

Combinaisons possibles : 6 x 6 x 6 x 6 = 64 = 1296

Gros tableau :


Combinaisons possibles pour le lancer de quatre dés à six faces
Petit tableau :

Combinaisons possibles pour le lancer de quatre dés à six face
Probas :

Nombre de fois où chaque combinaison 
donne le même total de points
Diagramme indiquant :
- le nombre total de points sur les quatre dés en abscisse
- le nombre de fois où il revient dans le tableau en ordonnée



Encore une fois, on voit que le diagramme prend une jolie forme de cloche.

La probabilité de faire un des résultats "du milieu" est plus forte que celle de faire un résultats "des côtés" : ici, on a plus d'une chance sur deux de faire 12, 13, 14, 15 ou 16 que tous les autres résultats.
(On a exactement 676 chances sur 1296, soit ~1,043 chances sur 2).


ALLEZ ON S'ARRÊTE PAS ON FAIT LES CINQ DÉS

Combinaisons : 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 = 7776

Gros tableau :
Pourquoi ajouter une légende quand ce tableau est déjà légendaire ?
Petit tableau :

Plus sérieusement, j'ai une petite flemme et horreur de me répéter.
Probas :



Blablabla
Vous savez ce que
c'est maintenant.
Notons que cette fois-ci je n'ai pas regardé s'il existait une relation intéressante à base de 1, de 2, de 3, de 4, de 5 et de 6 qui donne ces résultats.


Je pourrais probablement retourner chercher la formule mathématique déjà trouvée par des gens plus intelligents que moi qui me donnerait la solution, mais où serait le fun ?

Encore une fois, les totaux de points qui ont plus de combinaisons différentes possibles pour s'additionner sont celles qui vont avoir le plus de chances de sortir au lancer, tout simplement parce que "additionner des points" est la base de tout cet article.

Ça ne change rien au fait que si j'arrête de compter les points sur les dés et que je considère chaque combinaison comme unique (la combinaison 1-1-2-1-2 n'étant pas la même que la combinaison 1-2-1-2-1, évidemment pour ça il faut que j'identifie mes cinq dés), chacune n'a qu'une chance sur 7776 de sortir.

Diagramme ? Allez, diagramme.
 
 Encore une fois courbe en cloche, de plus en plus prononcée.

Tiens, je n'y avais pas pensé avant mais nous avons désormais assez de dés pour jouer au Yahtzee (aussi appelé Yam's dans certaines régions).

Bon, évidemment le Yam's s'intéresse à des combinaisons particulières et pas uniquement à des totaux de points, et les joueurs ont trois lancers au cours desquels ils peuvent garder certains dés et en jeter d'autres, donc l'applicabilité de ces résultats au jeu n'est pas très bonne.


ALLEZ LES SIX - non je déconne

Je vais arrêter là et vous avouer la vérité : je ne vais nulle part avec cet article. Je voulais juste m'amuser un peu avec de la mise en forme, que ce soit sur mon tableur ou sur cet article.

S'il faut une vraie conclusion, elle est déjà écrite ci-dessus : "Encore une fois, les totaux de points qui ont plus de combinaisons différentes possibles pour s'additionner sont celles qui vont avoir le plus de chances de sortir au lancer"

Autrement dit, ce qui a plus de moyens d'arriver a également plus de chance d'arriver. Vous aviez cru que cet article parlait de maths ? Boum, je vous ai eus : c'était du développement personnel depuis le début.

Je perçois télépathiquement votre absence d'hilarité suite à cette blague hilarante. Finissons-en.



  1. Mais qui a quand même été professeur de maths. Le niveau de l'Educ' Nat', j'vous jure.

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